Suites remarquables
Les suites numériques constituent le fondement de l'analyse réelle. Parmi toutes les familles possibles, quatre formes canoniques concentrent l'essentiel des phénomènes de convergence et de divergence. Leur maîtrise est indispensable à tout étudiant en mathématiques.
Suite de la forme $u_n = q^n$, avec $q \in \mathbb{R}$
Soit $q \in \mathbb{R}$. On appelle suite géométrique de raison $q$ et de premier terme $1$ la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par :
Comportement asymptotique selon $q$
| Valeur de $q$ | Comportement de $q^n$ | Conclusion |
|---|---|---|
| $q > 1$ | $q^n \to +\infty$ | Diverge vers $+\infty$ |
| $q = 1$ | $q^n = 1$ pour tout $n$ | Converge vers $1$ |
| $|q| < 1$ | $q^n \to 0$ | Converge vers $0$ |
| $q = -1$ | $q^n$ alterne entre $-1$ et $1$ | Diverge (oscille) |
| $q < -1$ | $|q^n| \to +\infty$ | Diverge (oscillations non bornées) |
Pour tout $q \in \mathbb{R}$, la suite $(q^n)$ vérifie :
Pour tout $q > 1$ et tout entier $k \geq 0$ :
Toute suite géométrique de raison $q > 1$ l'emporte sur toute suite polynomiale.
1. $u_n = 2^n$ : diverge vers $+\infty$.
2. $u_n = \left(\frac{1}{3}\right)^n$ : converge vers $0$.
3. $u_n = (-1)^n$ : oscille entre $-1$ et $+1$, pas de limite.
4. $u_n = \left(\frac{2}{3}\right)^n$ : converge vers $0$, car $\left|\frac{2}{3}\right| < 1$.
Suite de la forme $u_n = n^r$, avec $r \in \mathbb{Q}^*$
Soit $r \in \mathbb{Q}^*$. La suite puissance est définie pour $n \geq 1$ par $u_n = n^r$.
Pour $r, s \in \mathbb{Q}$ avec $r < s$ : $n^r = o(n^s)$. La chaîne fondamentale :
1. $r = \tfrac{1}{2}$ : $u_n = \sqrt{n} \to +\infty$ (croissance lente).
2. $r = -\tfrac{1}{2}$ : $u_n = \dfrac{1}{\sqrt{n}} \to 0$.
3. $r = -3$ : $u_n = \dfrac{1}{n^3} \to 0$ (convergence rapide).
4. Série de Riemann : $\displaystyle\sum \frac{1}{n^r}$ converge ssi $r > 1$.
Suite de la forme $v_n = f(u_n)$
Cette section traite du transfert de limite : si $(u_n)$ converge et $f$ est continue, alors $(f(u_n))$ converge aussi.
Soit $(u_n)$ convergeant vers $\ell \in \mathbb{R}$, et $f$ continue en $\ell$. Alors :
Cas particuliers
1. $u_n = \frac{1}{n}$, $f(x) = \sin(x)$ : $\sin\!\left(\tfrac{1}{n}\right) \to 0$.
2. $u_n = \frac{n^2+1}{n^2} \to 1$, donc $\ln(u_n) \to 0$.
3. Limite remarquable : $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n = e$.
Suite de la forme $u_{n+1} = f(u_n)$
Si $(u_n)$ converge vers $\ell$ et $f$ est continue en $\ell$, alors $f(\ell) = \ell$.
Si $f:[a,b]\to[a,b]$ est $k$-lipschitzienne avec $k < 1$, elle admet un unique point fixe $\ell$ et :
- Résoudre $f(x) = x$ (points fixes).
- Montrer la monotonie de $(u_n)$.
- Montrer que $(u_n)$ est bornée.
- Conclure par le théorème des suites monotones bornées.
- Identifier la limite comme point fixe.
| Condition sur $f'(\ell)$ | Nature | Comportement |
|---|---|---|
| $|f'(\ell)| < 1$ | Attracteur | $(u_n)$ converge vers $\ell$ |
| $|f'(\ell)| > 1$ | Répulseur | $(u_n)$ s'éloigne |
| $f'(\ell) \in (0,1)$ | Attracteur monotone | Convergence monotone |
| $f'(\ell) \in (-1,0)$ | Attracteur oscillant | Convergence oscillante |
1. Méthode de Newton (Héron). $f(x) = \frac{1}{2}\!\left(x + \frac{a}{x}\right)$, $f'(\sqrt{a})=0$ : convergence quadratique.
2. Nombre d'or. $u_{n+1} = 1 + \dfrac{1}{u_n}$, limite $\varphi = \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$.
3. Suite arithmético-géométrique. $f(x)=\alpha x+\beta$, $\ell = \dfrac{\beta}{1-\alpha}$ si $|\alpha|<1$.
Tableau récapitulatif
| Forme | Paramètre clé | Condition de convergence | Limite |
|---|---|---|---|
| $q^n$ | $q \in \mathbb{R}$ | $|q| < 1$ ou $q = 1$ | $0$ ou $1$ |
| $n^r$ | $r \in \mathbb{Q}^*$ | $r < 0$ seulement | $0$ |
| $f(u_n)$ | $f$ continue, $u_n \to \ell$ | $u_n$ converge + $f$ cont. en $\ell$ | $f(\ell)$ |
| $u_{n+1}=f(u_n)$ | $|f'(\ell)|<1$ | $f$ contractante ou monotone bornée | Point fixe $\ell$ |
Exercices type Baccalauréat
On considère $f(x) = \dfrac{x+3}{x+1}$ sur $[0,+\infty)$ et $(u_n)$ définie par $u_0=0$, $u_{n+1}=f(u_n)$.
- Q1. Étudier les variations de $f$ sur $[0,+\infty)$.
- Q2. Montrer que $f([1,3])\subseteq[1,3]$.
- Q3. Montrer par récurrence que $u_n\in[1,3]$ pour tout $n\geq1$.
- Q4. Étudier la monotonie via $u_{n+1}-u_n$.
- Q5. Montrer la convergence et calculer la limite.
- Q6. Calculer $f'(\ell)$ et conclure sur le type de convergence.
Voir la correction
Q1. $f'(x) = \dfrac{-2}{(x+1)^2} < 0$ : $f$ est strictement décroissante sur $[0,+\infty)$.
Q2. $f(1)=2\in[1,3]$, $f(3)=\tfrac{3}{2}\in[1,3]$. Comme $f$ est continue et décroissante, $f([1,3])=[\tfrac{3}{2},2]\subseteq[1,3]$. ✓
Q3. $u_1=f(0)=3\in[1,3]$. Si $u_n\in[1,3]$, alors $u_{n+1}=f(u_n)\in[1,3]$. Par récurrence. ✓
Q4. $u_{n+1}-u_n=\dfrac{3-u_n^2}{u_n+1}$. Signe dépend de $u_n$ vs $\sqrt{3}$ : convergence oscillante.
Q5. $f(\ell)=\ell \Rightarrow \ell^2=3 \Rightarrow \ell=\sqrt{3}$.
Q6. $f'(\sqrt{3})=\dfrac{-2}{(\sqrt{3}+1)^2}\approx-0{,}27$. $|f'(\ell)|<1$ : attracteur oscillant.
On considère $u_n = \left(1-\dfrac{1}{n+1}\right)^n$.
- Q1. Montrer que $u_n>0$. Quelle forme indéterminée ?
- Q2. Poser $v_n=\ln(u_n)$ et calculer $\lim v_n$ via $\ln(1-x)\sim-x$.
- Q3. En déduire $\lim u_n$. Reconnaître la limite.
- Q4. Comportement de $w_n=n\cdot u_n$ quand $n\to+\infty$.
- Q5. Montrer que $(u_n)$ est décroissante pour $n\geq2$.
Voir la correction
Q1. $1-\tfrac{1}{n+1}>0$ pour $n\geq1$, donc $u_n>0$. Forme $1^\infty$ — indéterminée.
Q2. $v_n=n\ln\!\left(1-\tfrac{1}{n+1}\right)\sim n\cdot\left(-\tfrac{1}{n+1}\right)=-\tfrac{n}{n+1}\to-1$.
Q3. $\lim u_n=e^{-1}=\tfrac{1}{e}$. C'est la limite liée à $\left(1-\tfrac{1}{n}\right)^n\to e^{-1}$.
Q4. $w_n=n\cdot u_n\to n\cdot\tfrac{1}{e}\to+\infty$. Diverge vers $+\infty$.
Q5. On montre que $u_{n+1}/u_n<1$ pour $n$ suffisamment grand via la décroissance de $x\mapsto(1-\tfrac{1}{x})^{x-1}$.
Soit $a>0$. On pose $g(x)=\dfrac{1}{2}\!\left(x+\dfrac{a}{x}\right)$ et $(u_n)$ : $u_0>0$, $u_{n+1}=g(u_n)$.
Partie A — Étude de $g$
- A1. Calculer $g'(x)$ et étudier ses variations.
- A2. Montrer que $g(x)\geq\sqrt{a}$ pour tout $x>0$ (IAG).
- A3. Montrer que $g$ est une bijection de $[\sqrt{a},+\infty)$ dans lui-même.
- A4. Calculer $g'(\sqrt{a})$ et interpréter.
Partie B — Étude de $(u_n)$
- B1. Montrer par récurrence que $u_n\geq\sqrt{a}$ pour $n\geq1$.
- B2. Montrer que $(u_n)$ est décroissante à partir du rang 1.
- B3. Conclure sur la convergence et trouver la limite.
- B4. Montrer que $|u_{n+1}-\sqrt{a}|\leq\tfrac{1}{2}|u_n-\sqrt{a}|$.
Partie C — Application ($a=2$, $u_0=2$)
- C1. Calculer $u_1,u_2,u_3$.
- C2. Combien d'itérations pour $\sqrt{2}$ à $10^{-10}$ près ?
- C3. Montrer que $|u_{n+1}-\sqrt{a}|\leq\dfrac{(u_n-\sqrt{a})^2}{2\sqrt{a}}$ : convergence quadratique.
- C4. Relier à la méthode de Newton sur $h(x)=x^2-a$.
Voir la correction complète
A1. $g'(x)=\tfrac{x^2-a}{2x^2}$. Négatif sur $(0,\sqrt{a})$, positif sur $(\sqrt{a},+\infty)$. Minimum en $\sqrt{a}$.
A2. $g(x)=\tfrac{x+a/x}{2}\geq\sqrt{x\cdot a/x}=\sqrt{a}$ par IAG. Égalité ssi $x=\sqrt{a}$.
A3. $g$ continue, croissante sur $[\sqrt{a},+\infty)$, $g(\sqrt{a})=\sqrt{a}$, $g\to+\infty$, et $g\geq\sqrt{a}$ par A2. ✓
A4. $g'(\sqrt{a})=0$. Dérivée nulle : convergence très rapide (quadratique).
B1. $u_1=g(u_0)\geq\sqrt{a}$ par A2. Hérédité par A3. ✓
B2. $u_{n+1}-u_n=\tfrac{a-u_n^2}{2u_n}\leq0$ car $u_n\geq\sqrt{a}$.
B3. Décroissante et minorée par $\sqrt{a}$ ⟹ converge. $g(\ell)=\ell\Rightarrow\ell=\sqrt{a}$.
B4. Calcul direct : $u_{n+1}-\sqrt{a}=\tfrac{u_n-\sqrt{a}}{2}$ (pour $u_n\geq\sqrt{a}$).
C1. $u_1=1{,}5$ ; $u_2\approx1{,}41\overline{6}$ ; $u_3\approx1{,}414216$ (6 décimales exactes de $\sqrt{2}$).
C3. $u_{n+1}-\sqrt{a}=\tfrac{(u_n-\sqrt{a})^2}{2u_n}\leq\tfrac{(u_n-\sqrt{a})^2}{2\sqrt{a}}$. Le nombre de décimales correctes double à chaque itération.
C4. Newton sur $h(x)=x^2-a$ : $x_{n+1}=x_n-\tfrac{x_n^2-a}{2x_n}=\tfrac{x_n}{2}+\tfrac{a}{2x_n}=g(x_n)$. ✓
On considère $u_n = \dfrac{3n^2+2n-1}{n^2+n+5}$ pour $n\geq1$.
- Q1. Calculer $\lim u_n$ en factorisant par $n^2$.
- Q2. Montrer que $u_n-3=\dfrac{-n-16}{n^2+n+5}$. Signe de $u_n-3$ ?
- Q3. Montrer que $(u_n)$ est croissante.
- Q4. Calculer $\lim n(3-u_n)$. Interpréter.
- Q5. Comparer la vitesse de convergence avec $1/n$.
Voir la correction
Q1. $u_n=\dfrac{3+2/n-1/n^2}{1+1/n+5/n^2}\to3$.
Q2. $u_n-3=\dfrac{3n^2+2n-1-3n^2-3n-15}{n^2+n+5}=\dfrac{-n-16}{n^2+n+5}<0$ pour $n\geq1$ : la suite converge par valeurs inférieures.
Q3. $u_{n+1}-u_n>0$ après simplification (calcul direct). Croissante. ✓
Q4. $n(3-u_n)=n\cdot\dfrac{n+16}{n^2+n+5}=\dfrac{n^2+16n}{n^2+n+5}\to1$. Donc $3-u_n\sim\dfrac{1}{n}$.
Q5. $u_n\approx3-\dfrac{1}{n}$ pour grand $n$ : convergence exactement du même ordre que $1/n$.
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