résumé cours intégrale

Les intégrales

L'intégrale — Résumé de cours

1️⃣ Intégrale sur un segment | 2️⃣ Propriétés fondamentales | 3️⃣ Comparaison | 4️⃣ Valeur moyenne | 5️⃣ Intégration par parties | 6️⃣ Aire algébrique | 7️⃣ Volume de révolution Exercices

1️⃣ Intégrale d'une fonction continue sur un segment

Soit \( f \) une fonction continue sur un intervalle \([a;b]\) et \( F \) une primitive de \( f \) sur \([a;b]\).

L'intégrale de \( f \) entre \( a \) et \( b \) est le nombre réel :

\[ \int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a) \]

2️⃣ Propriétés fondamentales

• \(\displaystyle \int_a^a f(x)\,dx = 0\)
• \(\displaystyle \int_b^a f(x)\,dx = -\int_a^b f(x)\,dx\)
• Linéarité : \(\displaystyle \int_a^b [kf(x) + g(x)]\,dx = k\int_a^b f(x)\,dx + \int_a^b g(x)\,dx\)
• Relation de Chasles : \(\displaystyle \int_a^c f(x)\,dx = \int_a^b f(x)\,dx + \int_b^c f(x)\,dx\)

3️⃣ Intégrale et comparaison

Si \( \forall x \in [a;b], f(x) \ge 0 \), alors \(\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx \ge 0\).

Si \( \forall x \in [a;b], f(x) \ge g(x) \), alors \(\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx \ge \int_a^b g(x)\,dx\).

4️⃣ Valeur moyenne

Soit \( f \) continue sur \([a;b]\). La valeur moyenne de \( f \) sur \([a;b]\) est :

\[ m = \frac{1}{b - a} \int_a^b f(x)\,dx \]

5️⃣ Intégration par parties

Si \( f \) et \( g \) sont dérivables sur \([a;b]\) et \( f', g' \) continues :

\[ \int_a^b f'(x)g(x)\,dx = [f(x)g(x)]_a^b - \int_a^b f(x)g'(x)\,dx \]

6️⃣ Aire algébrique

Si \( f \) est continue sur \([a;b]\), l'aire algébrique délimitée par la courbe \( (C_f) \), l'axe des abscisses et les droites \( x=a \) et \( x=b \) est :

\[ A = \int_a^b f(x)\,dx \quad (\text{en unités d'aire}) \]

Aire du domaine \( P_f \) sous la courbe \( C_f \) entre \( a \) et \( b \) : \(\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx = \text{aire}(P_f)\)

Si deux courbes \( (C_f) \) et \( (C_g) \) sont continues sur \([a;b]\), l'aire comprise entre elles est :

\[ A = \int_a^b [f(x) - g(x)]\,dx \]

Aire \( A \) (en jaune) entre \( y=f(x) \) et \( y=g(x) \) sur \([a;b]\) — hauteur locale : \( f(x)-g(x) \).

7️⃣ Volume de révolution

Le volume du solide engendré par la rotation complète de la courbe \( (C_f) \) autour de l'axe des abscisses sur \([a;b]\) est :

\[ V = \pi \int_a^b [f(x)]^2\,dx \]

Solide de révolution engendré par \( y=\sqrt{x} \) autour de l'axe \( Ox \) sur \([1\,;\,3]\). Le disque de rayon \( r = f(x) \) et d'épaisseur \( dx \) a un volume élémentaire \( dV = \pi r^2\,dx \).

Comprendre le volume de révolution

Pour calculer le volume d’un solide de révolution, on imagine que le solide est découpé en une infinité de disques très fins. Chaque disque possède un rayon donné par la fonction f(x).

Position : 1.00

Rayon : 1.00

① Chaque disque possède un rayon r = f(x).

② Son aire vaut : \[ A = \pi [f(x)]^2 \]

③ Son volume élémentaire est : \[ dV = \pi [f(x)]^2\,dx \]

④ En additionnant tous les disques : \[ V=\pi\int_a^b[f(x)]^2\,dx \]

Exemple : \[ f(x)=\sqrt{x} \quad\text{sur}\quad [1;3] \] alors \[ V=4\pi\approx12,57\;u^3 \]

Exercices

Exercice 1️⃣ (type Bac)

On considère la fonction \( f(x) = x e^{-x} \) définie sur \([0;+\infty[\).

1. Montrer que \( f \) admet une limite en \( +\infty \).
2. Calculer l’intégrale \( I = \int_0^1 x e^{-x}\,dx \).
3. En déduire l’aire du domaine délimité par la courbe de \( f \), l’axe des abscisses et les droites \( x=0 \) et \( x=1 \).

Solution :

• \(\lim_{x\to+\infty} x e^{-x} = 0\).
• \( I = \int_0^1 x e^{-x}\,dx = \big[-x e^{-x}\big]_0^1 + \int_0^1 e^{-x}\,dx = -e^{-1} + (1-e^{-1}) = 1 - 2e^{-1}\).
• Aire = \( I = 1 - \tfrac{2}{e} \).

Exercice 2️⃣ (type Bac)

On considère la fonction \( g(x) = \ln(x) \) définie sur \([1;e]\).

1. Tracer la courbe représentative de \( g \) sur \([1;e]\).
2. Calculer l’intégrale \( J = \int_1^e \ln(x)\,dx \).
3. Interpréter géométriquement le résultat obtenu.

(Pas de solution affichée pour s’entraîner)

Exercice 3️⃣ Global (type Bac)

On considère la fonction \( f(x) = \frac{\ln(x)}{x} \) définie sur \([1; e]\).

1. Vérifier que \( f \) est continue sur \([1;e]\).
2. Déterminer une primitive de \( f \) sur \([1;e]\).
3. Calculer l’intégrale \( I = \int_1^e \frac{\ln(x)}{x}\,dx \).
4. Interpréter géométriquement le résultat obtenu.

Solution :

• \( f(x) = \frac{\ln(x)}{x} \) est continue sur \([1;e]\) car \( \ln(x) \) et \( x \) sont continues et \( x \neq 0 \).
• Une primitive est \( F(x) = \tfrac{1}{2}(\ln(x))^2 \).
• \( I = \left[\tfrac{1}{2}(\ln(x))^2\right]_1^e = \tfrac{1}{2}(1^2 - 0^2) = \tfrac{1}{2} \).
• L’aire sous la courbe de \( f(x) \) entre \( x=1 \) et \( x=e \) vaut \( \tfrac{1}{2} \).

Exercice 4️⃣ Global (type Bac)

On considère la fonction \( g(x) = x \ln(x) \) définie sur \([1;2]\).

1. Étudier les variations de \( g \) sur \([1;2]\).
2. Déterminer une primitive de \( g(x) \).
3. Calculer l’intégrale \( J = \int_1^2 x \ln(x)\,dx \).
4. Interpréter géométriquement le résultat obtenu.

(Pas de solution affichée pour s’entraîner)