Ensembles et applications (les parties)

Appartenance - Inclusion

Ensemble des parties
Produit cartésien de deux ensembles

Injection , surjection , bijection

Les opérations sur les parties d' un ensemble ( P (E) )

On appelle l'ensemble des parties c' est l'ensemble constitue des sous ensemble de cet ensemble qu'on note P (E)

Soit E un ensemble

l'ensemble des parties de E est l' ensemble P (E) = { X / X∈ E }

X ∈ P (E) ⇔ X ⊂ E

Exemple:

soit E= {1 ,4 ,7 } les parties de E (ou sous ensemble de E) sont :

{∅ , {1} ,{4} ,{7} , {1, 4},{1,7} , {4 ,7} , {1, 4 ,7}} ces parties ( sous ensembles) c'est l'ensemble des parties de E . On le note: P (E) et on écrit:

P (E) = {∅ , {1} ,{4} ,{7} , {1, 4},{1,7} , {4 ,7} , {1, 4 ,7}}

Remarque: ∅ ={ } et P (∅) ={ ∅ }

Exercice :

soit l'ensemble H = { 5 , 1 , 3 }

1) écrire P (H) en extension

2) écrire en extension les ensembles suivants:

F={X∈ P (H) / 3 ∈ X}

G={X∈ P (H) / 1 ∉ X}

solution:

1)P (H) ={ ∅ , {5} ,{ 1} ,{ 3} ,{ 5, 1} ,{ 5 , 3} ,{ 1 , 3} , H }

2)F={X∈ P (H) / 3 ∈ X} ={ { 3 } , { 5 , 3 } , { 1 , 3} , H }

G={X∈ P (H) / 1 ∉ X}= { ∅ , { 5} , { 3 } , { 5 , 3 } }

Les opérations sur les parties d' un ensemble ( P (E) )

1) intersection:

Soit E un ensemble non vide et A et B deux parties de E

On appelle intersection de A et B l'ensemble des éléments qui appartiennent à la fois à A et B
cet ensemble se note A ∩ B se lit A inter B

En écrit : A ∩ B ={ x ∈ E / x ∈ A et x ∈ B } ; x ∈ A et x ∈ B ⇔ x ∈ A ∩ B

Si A ∩ B ≠ ∅ on dit que A et B se rencontrent

Si A ∩ B = ∅ on dit que A et B sont disjoints

Exemple : soient A et B deux sous ensembles de l 'ensemble E sachant que :

A= {1 ,4 , 6 } et B = { 6 } l 'intersection de A et B est : A ∩ B = { 6 }

2) Réunion
La réunion de deux ensembles A et B c'est l'ensemble des éléments qui contient tous les éléments qui appartiennent à A ou appartenant à B on la note A∪ B et se lit A union B
A∪ B={x∈ E / x ∈ A ou x ∈ B } ; x ∈ A∪ B ⇔ x ∈ A ou x ∈ B

3) Complémentaire d'un ensemble

A une partie de E le complémentaire de A est l'ensemble constitue des élément qui appartiennent à E et qui n'appartiennent pas à A , on le note ${\color{Red} \bar{A}}$ ou ${\color{Red} \complement _{E}A}\ ou \ \complement^{A}_{E}$
${\color{Red} \bar{A}}=\complement^{A}_{E}=\left \{ x/x\in E\ et\ x\notin A \right \}\ \ \ x\in \complement^{A}_{E}\Leftrightarrow x\notin A\ et\ x\in E$

Exemple

${\color{Red} \bar{A}}$ = {3 ;4 ;5 ;6 ;7}

4) Différence de deux ensembles
A et B deux parties d'un ensemble E, la différence de A et B est l'ensemble des éléments qui appartiennent à A et qui n'appartiennent pas à B. On le note ${\color{Red} A\setminus B}$ ou A - B se lit A moins B
A\B= { x∈ E / x ∈ A et x ∉ B } x ∈ A \ B ⇔ x ∈ A et x ∉ B
Exemple:

5) Différence symétrique

A et B deux parties d'un ensemble E , la différence symétrique de A et B est l'ensemble des éléments qui appartiennent à A ou à B , mais pas aux deux à la fois ( sans éléments commun).

On le note A Δ B se lit A delta B

A Δ B = { x∈ E /(x ∈ A ou x ∈ B) et x ∉ A ∩ B } = (A ∪ B) \ (A ∩ B )

Exemple:

Exercice d 'application:

déterminer les ensembles A et B tel que

A∩ B = { 2;3;4}

A ∪ B = { 1; 2; 3 ; 4; 6 }

6 ∉ A \ B , 1∉ B \ A

solution

6 ∉ A \ B ⇔ 6 ∉ A et 6 ∈ B 1∉ B \ A ⇔ 1 ∉ B et 1 ∈ A

Utilisant le diagramme de Venn

d'où A={1;2;3;4} et B{2;3;4;6}

6) Propriétés:

INTERSECTION (∩)

Soient A , B et C des parties de l'ensemble E

A ∩ B = B ∩ A ( ∩ est commutative )

A ∩ ( B ∩ C ) = ( A ∩ B) ∩ C ( ∩ est associative )

A ∩ E = A A∩ ∅ = ∅ A ∩ A = A

A ∩ B ⊂ B et A ∩ B ⊂ A

A ∩ B = A ⇔ A ⊂ B démonstration :

-on suppose que A ∩ B = A et on démontre que

A ⊂ B ( x ∈ A ⇒ x ∈ B )

x ∈ A ⇒ x ∈ A ∩ B ⇒ x ∈ A et x ∈ B ⇒ x ∈ B

- on suppose que A ⊂ B et on démontre que A ∩ B = A

On a A ∩ B ⊂ A donc il suffit de montrer que A ⊂ A ∩ B c'est à dire :

(∀ x ∈ E ) : x ∈ A ⇒ x ∈ A ∩ B

x ∈ A ⇒ x ∈ A et x ∈ B ⇒ x ∈ A ∩ B

RÉUNION ( ∪ )

Soient A , B et C des parties de l'ensemble E

A∪ B = B ∪ A ( ∪ est commutative )

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C ) ( ∪ est associative )

A ⊂ A ∪ B et B ⊂ A ∪ B et A ∩ B ⊂ A ∪ B

A∪ E = E et A ∪ ∅ = A et A ∪ A= A

A∪ B = A ⇔ B⊂ A

RÉUNION ( ∪ ) et INTERSECTION (∩)

Soient A , B et C des parties de l'ensemble E

A∩( B ∪ C) = (A ∩ B )∪ (A ∩ C) ( la distributivité )

A ∪ ( B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) ( la distributivité )

COMPLÉMENTAIRE

Soient A et B deux parties de l'ensemble E

1) $\overline{\overline{A}}=A$ 2) $\complement^{A}_{A}= \emptyset$ 3) $A\cap \bar{A}=\emptyset\ \ et\ \ A\cup \bar{A}=E$

4) $A\subset B\Leftrightarrow\overline{B}\subset \overline{A}$

5) loi de Morgan: $\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap\overline{B}$ $\overline{A\cap B}=\overline{A}\cup\overline{B}$

DIFFÉRENCE

Soient A et B deux parties de l'ensemble E

$1)\ A\setminus B=A\cap\overline{ B}\\ 2)\ A=(A\setminus B)\cup (A\cap B)\\ 3)\ A\subset B\Rightarrow (A\setminus B=\emptyset\ et\ B\setminus A=\complement_{B}^{A})$

Exercice

DIFFÉRENCE SYMÉTRIQUE

Soient A et B deux parties de l'ensemble E

1) Δ est commutative et associative

AΔ(BΔC) = (AΔB) ΔC demonstration click ici

Généralité

Soit E un ensemble non vide et soient $E_{1}, E_{2}, E_{3} , E_{4} ............ ,E_{n}$ une famille de parties de l'ensemble E on le note $(E_{i})_{1\leq i\leq n}$