Démonstration cas par cas ou disjonction

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1)Démonstration directe:

2)Démonstration par la contraposée:

3)Démonstration cas par cas ou disjonction:

4)Démonstration par contre exemple:

5) Démonstration par l 'absurde :
6)Démonstration par récurrence:

3) Démonstration cas par cas ou disjonction

La démonstration cas par cas repose sur la loi logique suivante:

[ (p⇒ r) et (q⇒ r)]⇒[(p et q)⇒ r] ( p , q et r sont des propositions)

Pour démontrer une proposition pour tous les x dans un ensemble E , il suffit de montrer la proposition dans une partie A de E puis pour tous les x appartenant à d 'autres parties de E ( $E=E_{1}\cup E_{2}\cup E_{3}\cup ........\cup E_{n}$ )

Exemple:
Montrons que : $\bg_white \left ( \forall n \in \mathbb{N} \right ):n(n^{2}+5)\ est\ un\ nombre \ pair$
$\bg_white \bg_white 1er\ cas\ si\ n= 2k \ ( k\in \mathbb{N})\\ on\ a:\:\ n(n^{2}+5)=2k(\left (2k \right )^{2}+5)=2k(4k^{2}+5)=2(4k^{3}+5k)\\ n(n^{2}+5)= 2(4k^{3}+5k)\ on\ pose\ t=2k^{3}+5k \ (t\in \mathbb{N})\ donc\\ \ n(n^{2}+5)=2t\ ce\ qui \ montre\ que\ n(n^{2}+5)\ est\ un\ nombre\ pair ( car\ x\ est\ un\ nombre\ pair \\ donc\ x=2m\ (m\in \mathbb{N}))$

اقرا ايضاDémonstration par récurrence

اقرا ايضاDémonstration par contre exemple

اقرا ايضاDémonstration par l 'absurde

اقرا ايضاDémonstration par la contraposée

$\bg_white 2er\ cas\ si\ n= 2k+1 \ ( k\in \mathbb{N})\\ on\ a:\ n(n^{2}+5)=\left (2k+1 \right )(\left (2k+1 \right )^{2}+5)=\left (2k+1 \right )(4k^{2}+4k+1+5)\\ n(n^{2}+5) =\left (2k+1 \right )(4k^{2}+4k+6)\\ n(n^{2}+5) =(2k+1)[2(2k^{2}+2k+3)]=2(2k+1)(2k^{2}+2k+3)\\ \\ n(n^{2}+5)= 2(2k+1)(2k^{2}+2k+3) \ on\ pose\ t'=(2k+1)(2k^{2}+2k+3) \ (t'\in \mathbb{N})\ donc\\ \ n(n^{2}+5)=2t'\ ce\ qui \ montre\ que\ n(n^{2}+5)\ est\ un\ nombre\ pair ( car\ x\ est\ un\ nombre\ pair \\ donc\ x=2m \ (m\in \mathbb{N}))$
conclusion : $\bg_white \left ( \forall n \in \mathbb{N} \right ):n(n^{2}+5)\ est\ un\ nombre \ pair$
exercices
1) montrer que: $\left (\forall x\in \mathbb{R} \right ) :\vert x-1\vert\leq x^{2}-x+1$
2)résoudre l'équation $(E):\vert 2x-1\vert+x=5$