Démonstration par récurrence

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1)Démonstration directe:

2)Démonstration par la contraposée:

3)Démonstration cas par cas ou disjonction:

4)Démonstration par contre exemple:

5) Démonstration par l 'absurde :
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6)Démonstration par récurrence:

6)Démonstration par récurrence

La démonstration par récurrence est un raisonnement qui permet à démontrer une proposition ou propriété p(n) dépendent d'un entier n.est vraie sur tous les entiers naturels c'est à dire pour montrer une proposition de la forme $"\forall n\in \mathbb{N}:p(n)''$ est vraie il suffit de démontrer que:

1) $p(n_{0})$ est vraie

2) $''\forall n\geq n_{0}:p(n)\Rightarrow p(n+1)''$ est vraie

Exemples

montrons que : $\left (\forall n\in \mathbb{N} \right ):2^{n}\geq n+1$

pour n =0 on a $2^{0}=1\geq 0+1$ donc p(0) est vraie

On suppose que p(n) est vraie c'est à dire que $2^{n}\geq n+1$ et on montre que p(n+1) est vraie c'est à dire on montre que $2^{n+1}\geq n+2$

Par hypothèse on a $2^{n}\geq n+1$ si on multiple les deux membres de l'inégalité par 2 (2>0)on obtient:

$2\times 2^{n}\geq \left (n+1 \right )\times 2$ donc $2^{n+1}\geq 2n+2$

et puisque 2 ≥ 1 et 2 n +2 ≥ n+2 car n >0 donc en déduit que $2^{n+1}\geq 2n+2$

conclusion : $\left (\forall n\in \mathbb{N} \right ):2^{n}\geq n+1$

Montrons que : $'' \forall n\in \mathbb{N}:7^{n} -2^{n}\ est\ divisible\ par\ 5''$

Pour n = 0 on a $7^{0} -2^{0}=1-1=0$ et 0 est divisible par 5(0=5×0) donc proposition vraie pour n=0

on suppose que p(n) est vraie c-à-d que $7^{n} -2^{n}=5k\ \left (o\grave{u}\ k\in \mathbb{N} \right )$ et on montre que p(n+1) est vraie c-à-d que $7^{n+1} -2^{n+1}=5k'\ \left (o\grave{u}\ k'\in \mathbb{N} \right )$

$7^{n+1} -2^{n+1}= 7^{n}\times 7 -2^{n}\times 2= 7^{n}\times \left (5+2 \right )-2^{n}\times 2\\ \\ 7^{n+1} -2^{n+1}= 7^{n}\times 5 +7^{n}\times 2-2^{n}\times 2= 7^{n}\times 5+2\left ( 7^{n} -2^{n}\right )\\ \\ or \ 7^{n} -2^{n}=5k\ \left (car\ 7^{n} -2^{n}\ est\ divisible\ par\ 5 \right )\\\\ donc\ 7^{n+1} -2^{n+1}=7^{n}\times 5+2\times 5k=7^{n}\times 5+2k\times 5\\ \\ mettant \ 5`en \ facteur\ on\ obtient\ 5\left (7 ^{n}+2k \right )=5k' \(o\grave{u}\ k'=7^{n}+2k)\\ \\ donc \ 7^{n+1} -2^{n+1}=5k'\ (o\grave{u}\ k'=7^{n}+2k)$
ce qui montre que $7^{n+1} -2^{n+1}$ est divisible par 5
conclusion: $'' \forall n\in \mathbb{N}:7^{n} -2^{n}\ est\ divisible\ par\ 5''$