Démonstration par l 'absurde

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1)Démonstration directe:

2)Démonstration par la contraposée:

3)Démonstration cas par cas ou disjonction:

4)Démonstration par contre exemple:

5) Démonstration par l 'absurde :
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6)Démonstration par récurrence:

5) Démonstration par l 'absurde :

Démonstration par l'absurde c'est un raisonnement qui repose sur la loi suivante :si ¬ p est fausse alors p est vraie ou sur la loi suivante: on suppose à la fois que p est vraie et q est fausse et on cherche une contradiction. si p est vraie alors q doit être vraie.

Exemples:

1) démontrer que " $\sqrt{2}\notin \mathbb{Q}$ "

On suppose que √2 est rationnel ( $\bg_white \sqrt{2}\in \mathbb{Q}$ ) alors $\bg_white \sqrt{2}=\frac{a}{b}$ où a et b des nombres entiers positifs premiers entre eux

$\bg_white \sqrt{2}=\frac{a}{b}\Rightarrow \sqrt{2}b=a\Rightarrow 2b^{2}=a^{2}$ puisque a² est un nombre pair donc a est un nombre pair

donc a = 2 k où k un nombre entier positif donc 2 b² = (2 k)²⇒ 2 b² =4 k²⇒ b² =2 k² or b² est pair donc b est pair alors on peut simplifier $\frac{a}{b}$ par 2 ce qui est contradictoire aux hypothèses a et b sont premiers entre eux

l’hypothèse faite est fausse donc √2 est irrationnel ( $\sqrt{2}\notin \mathbb{Q}$ )

2)soient a ≥ 0 et b ≥0 démontrer que si $\frac{a}{1+b}=\frac{b}{1+a}\ alors\ a=b$

dans cet exemple on suppose que p ( $\frac{a}{1+b}=\frac{b}{1+a}$ ) est vraie et q ( a= b)est fausse c'est à dire on suppose que $\frac{a}{1+b}=\frac{b}{1+a}$ et a ≠ b

$\frac{a}{1+b}=\frac{b}{1+a}$ ⇒ a(1 + a)= b(1 + b)⇒ a+ a² = b + b²

alors a² - b²= -(a - b) ⇒ (a - b)(a + b )= -(a - b)

puisque a ≠ b alors a - b≠ 0 donc simplifiant par a - b on obtient a + b = - 1 or la somme des deux nombres positifs a et b ne peut pas être négatif c'est une contradiction et par suite

si $\frac{a}{1+b}=\frac{b}{1+a}\ alors\ a=b$