Démonstration par l 'absurde

1)Démonstration directe:

 2)Démonstration par la contraposée:

 3)Démonstration cas par cas ou disjonction:

4)Démonstration par contre exemple:

5) Démonstration par l 'absurde :
6)Démonstration par récurrence:

5) Démonstration par l 'absurde :

Démonstration par l'absurde c'est un raisonnement qui repose sur la loi suivante :si ¬ p est fausse alors p est vraie  ou  sur la loi suivante: on suppose  à la fois que p est vraie et q est fausse et on cherche une contradiction. si p est vraie  alors q doit être vraie.

Exemples: 

1) démontrer que  ""

On suppose que √2 est rationnel ()  alors  où a et b des nombres entiers positifs  premiers entre eux

 puisque a² est un nombre pair donc a est un nombre pair

 donc a = 2 k où k un nombre entier positif   donc 2 b² = (2 k)²⇒ 2 b² =4 k²⇒ b² =2 k² or b² est pair  donc b est pair  alors on peut simplifierpar 2 ce qui est contradictoire  aux hypothèses a et b sont premiers entre eux

l’hypothèse faite est fausse  donc  √2 est irrationnel ()

2)soient a ≥ 0 et b ≥0 démontrer que si 

dans cet exemple on suppose que p () est vraie et q ( a= b)est fausse c'est à dire  on suppose que et a ≠ b

⇒ a(1 + a)= b(1 + b)⇒ a+ a² = b + b²

alors  a² - b²= -(a -  b) ⇒  (a - b)(a + b )= -(a - b)

puisque a ≠ b alors a - b≠ 0 donc simplifiant par a - b on obtient a + b = - 1 or la somme  des deux nombres positifs  a et b ne peut pas être négatif    c'est une contradiction et par suite

si